مقاييس التشتت .. الانحراف المعيارى .. والطرق المتعددة لحسابه

علم الإحصاء هو ذلك العلم الذي يهتم بدراسة البيانات بعد جمعها، وتنظيمها، ومن ثم تحليلها، للوصول إلى الغاية المطلوبة من جمعها، حيث يقسم إلى نوعين من ناحية تحليل البيانات؛ إذ يشمل ذلك: إحصاءات وصفية، وإحصاءات استنتاجية

والجدير بالذكر أنه عند مقارنة مجموعتين من البيانات ، يمكن استخدام أشكال مثل التوزيع التكراري، أو المنحنى التكراري ، وكذلك بعض مقاييس النزعة المركزية ، مثل الوسيط ، والمنوال والوسط الحسابي ، والإحصاءات الترتيبية

ولكن يعتبر استخدام هذه الطرق وحدها غير كاف عند المقارنة ، فربما يكون مقياس النزعة المركزية للمجموعتين متساو ، وقد يوجد اختلاف كبير بين المجموعتين من حيث مدى تباعد وتقارب البيانات من بعضها ، أو مدى تقارب أو تباعد القيم عن مقياس النزعة المركزية .

من أجل ذلك لجأ علماء الإحصاء إلى استخدام مقاييس أخرى لقياس مدى تجانس تلك البيانات، أو مدى انتشارها حول مقياس النزعة المركزية، ومن الممكن استخدامها في المقارنة بين مجموعتين أو أكثر من البيانات، ومن هذه المقاييس ، مقاييس التشتت ، والتفرطح والالتواء وسوف نركز في هذه المقالة البحثية على مقاييس التشتت

وسوف أقوم خلال هذا البحث بالحديث عن مقاييس التشتت، وأنوعها، و ذكر بعض الطرق على حساب الانحراف المعياري التي ستوضح آلية جمع البيانات بطريقة مفصلة، وبعض التطبيقات التي يدخل علم الإحصاء بها سواء كان ذلك من خلال الطريقة الحسابية يدويا او باستخدام الآلة الحاسبة أو الكمبيوتر من خلال برنامج Excel

محاور البحث

فيما يلي سوف نعرض لكم محاور البحث:-

١-أهمية مقاييس التشتت

٢- مقاييس التشتت

٣- الانحراف المعياري

٤- طرق حساب الانحراف المعياري

٥- مزايا الانحراف المعياري

المحور الأول : أهمية واستخدام مقاييس التشتت

للتشتت قيمة كبيرة وهامة في العمليات الإحصائية، فالتشتت يساعد بحسابه على تحديد مستوي انحراف ابتعادها واقترابها عن القيمة الوسطية. لذا فقد سلط المقال الحالي الضوء على مفهوم التشتت.

التشتت هو إحدى أهم خصائص البيانات التي تعمل على تحديد مقدار تناغم وتجانس واختلاف وتباين القيم مع بعضها البعض، أو مدى تباعدها وتبعثرها عن بعضها البعض، فإذا كانت البيانات مُتناغِمَة ومتقاربة من بعضها البعض حول نقطة معينة، فهذا يعني أنّها متجانسة غير مُشتّتة ، أما إذا كانت البيانات متفرقة ومتباعدة عن بعضها البعض بحيث أنها لا تتجمع ضمن نقطة تركيز معينة، فهذا يعني أن هذه البيانات متشتتة.

أما بالنسبة لمقدار التشتت يكون صغير إذا كانت البيانات متقاربة بشكل كبير، أما إذا كانت بُعد البيانات عن بعضها البعض كبير، فهذا يعني أن مقدار التشتت كبير، وبمعنى آخر كلما زاد بُعد البيانات عن بعضها البعض زاد التشتت وكلما قلَّ بعد البيانات عن بعضها البعض قلَّ التشتت.

المحور الثاني : مقاييس التشتت

هي مقاييس عددية تستخدم لقياس اختلاف أو تشتت أو تباعد البيانات عن المتوسط الحسابي والاخـتلاف أو التشتت لمجموعة البيانات هو مقدار تفرق أو تباعد أو انتشار البيانات فيما بينها أي أنها تعد عكس لمقاييس النزعة المركزية والتي تقيس مدى تمركز البيانات حول قيمة معينة.

فبالنظر لتـشتت البيانات فإنه يكون صغيرا إذا كانت البيانات متقاربة فيما بينها والعكـس إذا كانت البيانات متباعدة أو تحتوى على قيم ذات مدى واسع، وأمـا البيانـات المتساوية فلا اختلاف ولا تشتت فيما بينها من الأساس.

ومقاييس التشتت تستخدم لوصف مجموعة من البيانات وكذلك لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة وذلك لأن مقاييس النزعة المركزية لا تكفـي وحـدها لوصـف تلك البيانات أو مقارنة مجموعات البيانات المختلفة .

ومن أشهر مقاييس التشتت المُستخدمة في علم الإحصاء : الانحراف المعياري، والمدى، والتباين، ومعامل الاختلاف، وفيما يأتي توضيح لكل مقياس منها:

التباين

هو إحدى الطرق للحصول على المدى بين مجموعة من القيم، والمتوسط لها، ويتم حسابه من خلال أخذ الفرق بين كل القيم والمتوسط الحسابي لها، ثم بعد ذلك نحسب تربيع كل قيمة، ثم جمعها وتقسيمها على عدد العناصر

الانحراف المعياري

يعتبر الانحراف المعياري هو وسيلة لقياس مدى توزيع الأرقام بالنسبة لمتوسط مجموع البيانات، حيث يتدرج ذلك تحت عدة خطوات، مع مراعاة التدرج والانتباه والتركيز في كل خطوة للوصول إلى نتيجة دقيقة القيمة يمكن الاعتماد عليها ، كما يستخدم في التحليل الإحصائي، وتتمثل الخطوة الأولى في حساب الانحراف المعياري بحساب المتوسط الحسابي للقيم و هو مجموع القيم مقسومًا على عددها ، ثم يلي هذه الخطوة حساب التباين، الذي تم حسابه ولكن احيانًا يطلق على الانحراف المعياري ب الخطأ المعياري، إذا تم حسابه لعدد كبير جدًا، مثلًا لعدد سكان منطقة ما، فيكون الناتج ذو تباين جدًا في القيم.

المدى

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة

معامل الاختلاف أو التباين

معامل الاختلاف، أو معامل التباين أيضًا يعد إحدى الطرق لحساب مدى التشتت لمجموعة من القيم، ويتمثل بنسبة الانحراف المعياري بالنسبة للوسط الحسابي فإن معامل التباين نسبة الانحراف للمتوسط

يعتبر هذا المقياس أهم مقياس التشتت نسبيًا ويعرف بأنه النسبة المئوية للانحراف المعياري على الوسط الحسابي ويستخدم خاصة في حالات المقارنة بين عينتين حيث كلما قلت قيمته كلما كانت العينة أفضل ويمكن حسابه للبيانات العادية والمبوبة

ويعد هذا المقياس أفضل مقاييس التشتت النسبية نظرًا لأنه يعتمد على أفضل مقياس نزعة مركزية (الوسط الحسابي) وأفضل مقياس تشتت مطلق (الانحراف المعياري) .

الخطأ المعياري

وهو عبارة عن الانحراف المعياري مقسوما على الجذر التربيعي لأفراد العينة، فالخطأ المعياري في العينة التي تتكون من مفردة واحدة يكون مساويا للانحراف المعياري تماما.

المحور الثالث : الانحراف المعياري

استخدم مصطلح الانحراف المعياري لأول مرة في عام 1894 من قبل كارل بيرسون في محاضراته . وجاء هذا الاسم بديلا للأسماء المقترحة لنفس الفكرة مثل انحراف المتوسط الحسابي المستخدم من قبل بواسطة كارل غاوس.

وعند مقارنة أفراد المجموعة الواحدة أو مجموعتين معاً، نستخرج قيمة واحدة لكل مجموعة، ثم نقارن الأفراد هذه القيمة داخل الجماعة أو نقارن القيمة التي تمثل الجماعة الأولى ( المتوسط ) بالقيمة التي تمثل الجماعة الثانية. ولكن لسوء الحظ هذه القيمة وحدها لا تكفي لوصف المجموعة وذلك لأننا نحتاج إلي معرفة التوزيع الداخلي لدرجات الأفراد ومدى قربهم أو بعدهم عن المتوسط أي مدى تشتتهم حول المتوسط. فمقاييس التشتت إذاً هي مقاييس لقرب الأفراد من بعضهم، أي لتجانسهم.

وقد يتساوى متوسط درجات المجموعة (أ) مع متوسط المجموعة (ب) ولكن يختلف توزيع الدرجات في (أ) عنه في (ب) فيحصل عدد من أفراد المجموعة (أ) على درجة معينة وفي المجموعة (ب) يحصل عدد أكبر من السابق أو أصغر منه علي نفس الدرجة.

لشرح معنى التشتت يمكن أن نقدم المثال البسيط التالي: بالنظر للمفردات: 9، 10، 11 فأن وسطها الحسابي هو 10 وهو أفضل قيمة تصلح لتمثيل هذه المجموعة، لكن بالنظر إلى: 8، 10، 12 فإن وسطهم الحسابي هو أيضا 10 وكذلك 6، 10، 14 أي أن الوسط الحسابي فقط لا يكفي لتعريف مجموعة البيانات تعريفا دقيقا بل نحتاج لمعيار إضافي يوضح مدى تشتت هذه البيانات حول الوسط الإحصائي ولذلك اقترح الإحصائيون إدخال مفهوم الانحراف المعياري وغيره من القيم التي تعبر عن مدى تشتت البيانات.

وبهذا تأكدنا أن المتوسط الحسابي وحده لا يفيد في وصف المجموعة ومقارنة أفرادها ومقارنتها بمجموعات أخرى. بل يجب الاستعانة بأحد مقاييس التشتت. وسنأخذ هنا الانحراف المعياري مقاييس التشتت وأكثرها استعمالاً ويرمز عادة للانحراف المعياري بالرمز ع.

المحور الرابع : طرق حساب الانحراف المعياري

ومن تعريفنا للتشتت نلاحظ أنه يعني مدى تقارب أو تباعد الدرجات أو القيم عن المتوسط.

الطريقة الحسابية العادية

يعرف الانحراف المعياري بأنه ( الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي) ويعتمد في حسابه علي الخطوات التالية:

• حساب المتوسط الحسابي للقيم ويرمز له بالرمز م.
• حساب انحرافات القيم وذلك بطرح المتوسط من القيم المختلفة، أي أن الانحراف (ح) = الدرجة – المتوسط : ( هذا في حالة البيانات غير المبوبة أما في البيانات المبوبة فيطرح المتوسط من مركز الفئة).
• تربيع الانحرافات (ح²).
• تجمع مربعات الانحرافات (مج ح²). ( في حالة البيانات المبوبة يضرب التكرار ك في مربع الانحراف المحسوب من مركز الفئة).
• يقسم مجموع المربعات هذا(مج ح²) علي عدد القيم (ن).
• نستخرج الجذر التربيعى خارج القسمة السابق فيكون هو الانحراف المعياري هذه القيم أو الدرجات.

حساب الانحراف المعياري بالآلة الحاسبة

• حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري والتباين (مفردات)

إدخال البيانات:

MODE ->3 ->1

ندخل القيم بعد كل قيمة = ، في النهاية نضغط AC.

لتعديل القيم :

MODE ->3 ->AC ->shift->1->2

أدخل الرقم ثم = الرقم = ….، في النهاية نضغط AC

حساب المتوسط الحسابي

shift-> 1 -> 4 -> 2

حساب الانحراف المعياري

shift -> 1 -> 4 -> 4

• حساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري والتباين (فئات)

نجعل الآلة الحاسبة تقبل التكرار :

shift-> MODE

نضغط السهم النازل ثم نضغط 4، يسأل عن Frequency،نضغط 1

الباقي كما سبق مع اختلاف بسيط جداً حيث هنا بدلاً من وضع القيم نضع مراكز الفئات.

إدخال القيم :

MODE ->3 ->1 ندخل في جدول x مراكز الفئات وفي جدول التكرار التكرار :P

ونكرر ما سبق، بالنسبة لحساب المتوسط الحسابي والانحراف المعياري والتباين.

حساب الانحراف المعياري على برنامج Excel

استخدم دالة تقدير الانحراف المعياري (STDEV) لإيجاد الانحراف المعياري.

1. ضع المؤشر في المكان الذي تود أن يظهر الناتج فيه.
2. انقر فوق “صيغ” ثم حدد علامة التبويب “إدراج دالة” ثم انقر على إدخال معادلة (fx) مرة أخرى.
3. مرر قائمة الاختيارات للأسفل ثم اختر تقدير الانحراف المعياري
4. أدخل نطاق الخلايا أو الخانات لقائمة أعدادك في الصندوق الأول ثم انقر أوافق
5. سوف يظهر الانحراف المعياري في الخانة التي قمت بتحديدها من قبل.

المحور الخامس : مزايا الانحراف المعياري

نجد أن الانحراف المعياري، بما أنه يعتمد على المتوسط، يصلح في حالات التوزيع الاعتدالى المتماثل. وهو يتأثر بالقيم المتطرفة ويتأثر لو استؤصلت فئة من أفراد المجموعة. والانحراف المعياري يفيد في معرفة طبيعة توزيع أفراد المجموعة أي مدى انسجامها وهو يتأثر بالمتوسط وبعدد المجموعة وتشتتها وبمدي الاختبار المطبق لقدرة وتدريب أفرادها.

كما يفيد في وصف المجموعة إذ يكفى مبدئياً، ذكر متوسطها وانحرافها المعياري. وبهذا أيضاً يمكن مقارنة المجموعة بمجموعة أخرى. وأبعد من هذا فإننا بمعرفة توزيع درجات الأفراد، نعرف مدى صعوبة الاختبار بالنسبة لهم، فإذا كان صعباً نسبياً انخفض المتوسط وحصل عدد كبير نسبياً من الأفراد علي درجات تنحرف عنه انحرافاً سلبياً ( أي تقل عن المتوسط).

فإذا أضفنا فقرات أسهل ارتفع المتوسط وزاد عدد من يحصلون علي درجات مرتفعة. بل ويمكن علاوة علي هذا معرفة مستوى صعوبة الفقرات التي أضيفت أو التي حذفت أو التي عدلت بمقارنة توزيع الدرجات قبل وبعد الحذف أو الإضافة أو التعديل.

الخاتمة

عند مقارنة مجموعتين من البيانات ، يمكن استخدام شكل التوزيع التكراري، أو المنحنى التكراري ، وكذلك بعض مقاييس النزعة المركزية ، مثل الوسط الحسابي والوسيط ، والمنوال ، والإحصاءات الترتيبية

ولجأ الإحصائيون إلى استخدام مقاييس لقياس مدى تجانس البيانات، أو مدى انتشار البيانات حول مقياس النزعة المركزية، ويمكن استخدامها في المقارنة بين مجموعتين أو أكثر من البيانات، ومن هذه المقاييس ، مقاييس التشتت ، والالتواء ، والتفرطح

التشتت هو إحدى أهم خصائص البيانات التي تعمل على تحديد مقدار تناغم وتجانس القيم مع بعضها البعض، أو مدى تباعدها وتبعثرها عن بعضها البعض، فإذا كانت البيانات متقاربة من بعضها البعض حول نقطة معينة، فهذا يعني أنّها غير مُشتّتة بل متجانسة، أما إذا كانت البيانات متفرقة ومتباعدة عن بعضها البعض بحيث أنها لا تتجمع ضمن نقطة تركيز معينة، فهذا يعني أن هذه البيانات متشتتة.

ومقاييس التشتت تستخدم لوصف مجموعة البيانات وكذلك لمقارنة مجموعات البيانات المختلفة إذ أن مقاييس النزعة المركزية لا تكفـي لوصـف مجموعة البيانات أو مقارنة مجموعات البيانات المختلفة لوحدها

ويعد من أشهر مقاييس التشتت المُستخدمة في علم الإحصاء: الانحراف المعياري، والمدى، والتباين، ومعامل الاختلاف

ومن أهم مزايا الانحراف المعياري أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما .

• يسهل التعامل معه رياضيا .
• يأخذ كل القيم في الاعتبار .

ولكن من عيوبه ، أنه يتأثر بالقيم الشاذة